" se cosi' fosse sarebbe gia' dimostrato che questi enunciati sono veri. "
No, è proprio questa la novità di Goedel.
Se un sistema formale S è consistente, allora esiste un enunciato V vero ma non dimostrabile in S. Questa è una definizione sintetica del teorema. Tem lo faccio spiegare con una storiella da P. Davies:
"In un paese lontano un gruppo di matematici che non avevano mai sentito parlare di Gödel si convinse che esisteva davvero una procedura sistematica per determinare infallibilmente la verità o falsità di qualunque proposizione sensata, e si propose di dimostrarlo. La loro procedura poteva essere eseguita da una persona, o da un gruppo di persone, o da una macchina, o da qualsiasi combinazione di queste tre possibilità. Nessuno sapeva con certezza quale combinazione avessero scelto i matematici, perché il sistema era situato in un grande edificio universitario, piuttosto simile a un tempio, e l'ingresso era vietato al pubblico. Comunque, il sistema venne chiamato Tom. Per controllare l'abilità di Tom gli venivano sottoposte complesse asserzioni logiche e matematiche di ogni tipo e, dopo il tempo necessario per l'elaborazione, arrivavano puntualmente le risposte: vero, vero, falso, vero, falso... Dopo non molto la fama di Tom si diffuse in tutto il paese. In molti venivano a visitare il laboratorio e aguzzavano sempre di più l'ingegno per formulare problemi sempre più difficili nel tentativo di mettere in difficoltà il sistema. Nessuno ci riuscì. La fiducia dei matematici nell'infallibilità di Tom crebbe a tal punto che persuasero il loro re a offrire un premio a chiunque riuscisse a sconfiggere il suo incredibile potere analitico. Un giorno, un viaggiatore che veniva da un altro paese giunse all'università con una busta e chiese di sfidare Tom. Nella busta c'era un pezzo di carta con una proposizione da sottoporgli. La proposizione, che possiamo indicare con «P» («P» sta per «proposizione» o per «paradosso»), diceva semplicemente: «Tom non può dimostrare che questa proposizione è vera».
P venne sottoposta a Tom. Erano passati appena pochi secondi che il sistema entrò in preda a una specie di convulsione. Dopo mezzo minuto un tecnico giunse correndo dal laboratorio con la notizia che Tom era stato disattivato a causa di problemi tecnici. Che cosa era accaduto? Supponiamo che Tom dovesse arrivare alla conclusione che P è vera. Questo significherebbe che la proposizione «Tom non può dimostrare che questa proposizione è vera» sarebbe stata falsificata. Ma se P è falsificata, non può essere vera. Così se Tom risponde «vero» a P, avrà raggiunto una conclusione falsa, contraddicendo la sua vantata infallibilità. Dunque Tom non può rispondere «vero». Siamo dunque giunti alla conclusione che P è effettivamente vera. Ma nel giungere a questa conclusione abbiamo dimostrato che Tom non può giungere a questa conclusione. Questo significa che noi conosciamo la verità di una proposizione che Tom non può dimostrare. Questa è l'essenza della dimostrazione di Gödel: che esisteranno sempre certe proposizioni vere che non possono essere dimostrate. Il viaggiatore, naturalmente, lo sapeva e non ebbe alcuna difficoltà a costruire P e intascare il premio.
È importante, tuttavia, rendersi conto del fatto che le limitazioni messe in luce dal teorema di Gödel riguardano lo stesso metodo assiomatico di dimostrazione logica, e non una proprietà delle proposizioni che si cerca di dimostrare (o di refutare). Si può sempre trasformare una proposizione vera che è indimostrabile all'interno di un dato sistema di assiomi in un assioma di qualche sistema esteso. Ma allora ci saranno altre proposizioni indimostrabili in questo sistema esteso, e così via. " (Paul Davies, La mente di Dio, Milano, 1993, Mondadori, pp. 117-121)
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Ά όταν έκτιζαν τα τείχη πώς να μην προσέξω.
Αλλά δεν άκουσα ποτέ κρότον κτιστών ή ήχον.
Ανεπαισθήτως μ' έκλεισαν απο τον κόσμο έξω
(Κ. Καβάφης)